Question

高中数学：已知函数f(x)＝x-2/x+a(2-lnx).a>0,讨论f（x）的单调性

RT

Answer 1

定义域x>0.
f(x)导数=1+2/x^2+a(-1/x),令其大于等于0，得a/x<=1+1/x^2，所以a<=x+1/x
因为x>0,x+1/x>=2,所以当0<a<=2时,a<=x+1/x恒成立，也就是f(x)单调递增；
a>2时,令f(x)导数<0,解得[a-根(a^2-4)]/2<x<[a+根(a^2-4)]/2，所以f(x)在此区间单调递增；同理可以得到在0<x<[a-根(a^2-4)]/2,以及x>[a+根(a^2-4)]/2时单调递增；
综合得，1)a<=2时，f(x)单调递增；
2）当a>2时，f(x)在（0，[a-根(a^2-4)]/2 ]单调递增；在（ [a-根(a^2-4)]/2,[a+根(a^2-4)]/2）单调递减；在[ [a+根(a^2-4)]/2，正无穷）单调递增