Question

高中数学压轴题求解导数

求解导数

Answer 1

(1)ρ(x,a)=|e^x-a|-a|x-lna|=(a-e^x)-a(lna-x)（x<lna）
=(e^x-a)-a(x-lna)（x>lna）
当x<lna时，f'(x)=-e^x+a>0；当x>lna时，f'(x)=e^x-a>0
所以f(x)在R上单调递增
而f(lna)=0
所以f(x)在R上只有1个零点
(2)F(x)=|e^x-a|-a|x-lna|-|e^x-b|+b|x-lnb|
=(a-e^x)-a(lna-x)-(b-e^x)+b(lnb-x)=(a-b)x+a-alna-b+blnb（x<lna）
=(e^x-a)-a(x-lna)-(b-e^x)+b(lnb-x)=2e^x-(a+b)x-a-b+alna+blnb（lna<x<lnb）
=(e^x-a)-a(x-lna)-(e^x-b)+b(x-lnb)=(b-a)x-a+alna+b-blnb（x>lnb）
当x<lna时，F'(x)=a-b<0
当lna<x<lnb时，F'(x)=2e^x-(a+b)
在此情况下，当lna<x<ln[(a+b)/2]时，F'(x)<0；当ln[(a+b)/2]<x<lnb时，F'(x)>0
当x>lnb时，F'(x)=b-a>0
所以F(x)在R上有极小值，也是最小值F(ln[(a+b)/2])=-(a+b)ln[(a+b)/2]+alna+blnb
(3)构造函数g(b)=T(a,b)-(b-a)ln2=-aln(a+b)-bln(a+b)+alna+2aln2+blnb（将a视为常数）
g'(b)=-a/(a+b)-ln(a+b)-b/(a+b)+lnb+1
=ln[b/(a+b)]<0
所以g(b)对(a,+∞)单调递减
gmax(b)=g(a)=0
而b>a
所以g(b)<0
即T(a,b)<(b-a)ln2
所以Σ(i=1,n)T(ai,a(i+1))<(a(i+1)-a1)ln2