Question

已知抛物线y=1/2x2+bx2+c经过x轴上点A(-2,0),B(4,0),于y轴交于点C

（1）求b c的值
(2)试判断三角形BOC的外接圆P与直线AC的位置关系，并说明理由
（3）将三角形AOC绕点O旋转一周，旋转过程中，AC对应的直线平行于BC，试求旋转后对应的点A 的坐标

Answer 1

⑴抛物线Y=1/2X^2+bX+c过(-2，0)与(4，0)，
∴Y=1/2(X+2)*(X-4)=1/2X^2-X-4，
∴b=-1，c=-4，
⑵∵B(4，0)，C(0，-4)，∴OB=OC，∠OCB=45°，
∵∠BOC=90°，∴BC是ΔBOC的外接圆的直径，
∵tan∠ACO=OA/OC=1/2，∴∠ACO<45°，即∠ACP≠90°，
直线AC过圆上点C，∴AC与⊙P相交。
⑶过O作OH⊥AC于H，则OH=OA*OC/AC=4√5/5，
∴AH=√(OA^2-OH^2)=2√5/5，
设旋转后，A对应A‘，H对应 H’，
A‘C’交X轴于M，∵A‘C’∥BC，∴∠A‘MO=45°，
∴MH‘=OH’=OH=4√5/5，OM=√2OH’=4√10/5，
∴A‘M=MH’+A‘H’=4√5/5+2√5/5=6√5/5，
过A‘作A’N⊥X轴于N，
则A‘N=MN=A’M÷√2=3√10/5，
∴ON=OM-MN=4√10/5-3√10/5=√10/5，
∴A‘(-√10/5，3√10/5)。