Question

证明题，请把过程写详尽点，谢谢

Answer 1

证明一：
令f(t)=tlnt (t>0)
求导得：
f'(t)=lnt+1
再次求导得：
f''(t)=1/t>0
所以：f(t)是凹函数
所以：[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
所以：(xlnx+ylny)/2>(x+y)/2*ln[(x+y)/2]
所以：xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]

证明二：
xlnx+ylny-xln(x+y)-yln(x+y)-(x+y)ln(1/2)
=xln[x/(x+y)]+yln[y/(x+y)]-(x+y)ln(1/2)
=-xln(1+y/x)-yln(1+x/y)-(x+y)ln(1/2)
=-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]
令y/x=t
即证：
ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
由于x、y地位对等，所以设y>x，即t>1
构造f(t)=ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2
求导f'(t)=ln(1+t)-lnt-ln2=ln(1+1/t)-ln2<0
所以：f(t)是减函数，f(t)<f(1)=0
所以：ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
所以：-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]>0
即：xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]

Answer 2

xlnx+ylny-xln(x+y)-yln(x+y)-(x+y)ln(1/2)
=xln[x/(x+y)]+yln[y/(x+y)]-(x+y)ln(1/2)
=-xln(1+y/x)-yln(1+x/y)-(x+y)ln(1/2)
=-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]
令y/x=t
即证：
ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
由于x、y地位对等，所以设y>x，即t>1
构造f(t)=ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2
求导f'(t)=ln(1+t)-lnt-ln2=ln(1+1/t)-ln2<0
所以：f(t)是减函数，f(t)<f(1)=0
所以：ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
所以：-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]>0
即：xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]

Answer 3

能人太多了，网上解答有。