Question

速求！关于定积分和可变上限函数。前俩题请写出步骤，最后一题求出最大最小值以及详细步骤。

3题求详细解答。

这个怎么能求出最大和最小值？

Answer 1

a)、log(log|x|)=log(ln|x|/ln10)=ln(ln|x|/ln10)/ln10
∫<-5,-4>log(log|x|)/x*dx
=∫<-5,-4>[ln(ln|x|/ln10)/ln10]/x*dx
=-1/ln10∫<-5,-4>[ln(ln|x|)-ln(ln10)]/(-x)*dx
=-1/ln10∫<-5,-4>[ln(ln|x|)-ln(ln10)]dln|x|
={-1/ln10*ln|x|*[ln(ln|x|)-1-ln(ln10)]}|<-5,-4>
=-1/ln10*{ln4*[ln(ln4)-1-ln(ln10)]-ln5*[ln(ln5)-1-ln(ln10)]}
≈-1/ln10*(-2.090+2.186)
≈-0.0417
b)、∫<1/2,1>3√(1-x^2)/x^2*dx
=3∫<π/6,π/2>√(1-sint^2)/sint^2*dsint x=sint, t∈[π/6,π/2]
=3∫<π/6,π/2>cost*costdt/sint^2
=3∫<π/6,π/2>(cot)^2dt
=3∫<π/6,π/2>[(csc)^2-1]dt
=3<π/6,π/2>[-cott-t]
=3[(-0-π/2)-(-√3-π/6)]
=3(√3-π/3)
=3√3-π
4)、是求最值点，不是求最值
F(x)=∫<1,e^x>(logt)^(1/3)dt
F'(x)=d/dx[∫<1,e^x>(logt)^(1/3)dt]
=(logx)^(1/3)*(e^x)'
=(logx)^(1/3)*e^x
令F'(x)=0，可得
(logx)^(1/3)*e^x=0
=> logx=0
=> x=1
∵x≥1时，F'(x)≥0，F(x)为增函数
0<x≤1时，F'(x)≤0，F(x)为减函数
∴x=1时，F(x)取得最小值

追问

不好意思 国外的数学题的log 就是国内的ln 所以我感觉你这个好像不太对呢

追答

你不早说，让含ln10的地方等于1就行了
∫ln(ln|x|)/x*dx
=-∫[ln(ln|x|)]/(-x)*dx
=-∫[ln(ln|x|)]dln|x|
=-ln|x|*[ln(ln|x|)-1]
=-{ln4*[ln(ln4)-1]-ln5*[ln(ln5)-1]}
≈-(-0.9335+0.8435)
≈0.090
第二、三题不影响

追问

第三题 求导的时候 是把e^x 当成可变上限函数的x 还是只是把x 带入啊？

追答

可变上限函数

追问

不是 我的意思是 不是应该把e^x 直接替换t么？

追答

哦，是的，我上面做错了，忘了替换了；正解如下：
F(x)=∫(lnt)^(1/3)dt
F'(x)=d/dx[∫(lnt)^(1/3)dt]
=[ln(e^x)]^(1/3)*(e^x)'
=x^(1/3)*e^x
令F'(x)=0，可得
x^(1/3)*e^x=0
=> x=0
∵x≥0时，F'(x)≥0，F(x)为增函数
x≤0时，F'(x)≤0，F(x)为减函数
∴x=0时，F(x)取得最小值