Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x

1。。求f（x）的最大值及最大值时自变量x的集合。。2。。求函数的单调区间

Answer 1

已知函数f(x）=（sinx+cosx）²+2cos²x；1。求f（x）的最大值及最大值时自变量x的集合。2。求函数的单调区间
解：1。f(x)=(sinx+cosx)²+2cos²x=1+sin2x+(1+cos2x)=(sin2x+cos2x)+2
=(√2)sin(2x+π/4)+2；
当2x+π/4=π/2+2kπ，即x=(1/2)[π/2-π/4+2kπ]=kπ+π/8时f(x)获得最大值3；
2。由-π/2+2kπ≦2x+π/4≦π/2+2kπ，得单增区间为：-3π/8+kπ≦x≦π/8+kπ；
由π/2+2kπ≦2x+π/4≦3π/2+2kπ，得单减区间为：π/8+kπ≦x≦5π/8+kπ；k∈Z；

Answer 2

f(x)=1+2sinxcosx+cos2x-1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π／4）再根据正弦函数求最值和单调区间，一般考试里面都有一个这样的题，希望能加强训练。

Answer 3

（1）
f(x)=（sinx+cosx）²+2cos²x
=sin²x+cos²x+2sinxcosx+2cos²x
=1+2cos²x+2sinxcosx
=cos2x+1+1+sin2x
=√2sin（2x+π/4)+2
∴当2x+π/4=π/2+2kπ时，可取得最大值：2+√2
解得：x=π/8+kπ，k∈Z
∴当2x+π/4=3π/2+2kπ时，可取得最小值：2-√2
解得：x=5π/8+kπ，k∈Z

（2）
-π/2+2kπ-π/4≤2x≤π/2+2kπ-π/4，k∈Z
-3π/4+2kπ≤2x≤π/4+2kπ，k∈Z
-3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ，k∈Z
∴单增区间为：【-3π/8，π/8】，k∈Z
π/2+2kπ≤2x+π/4≤3π/2+2kπ，k∈Z

π/4+2kπ≤2x≤5π/4+2kπ，k∈Z
π/8+kπ≤x≤5π/8+kπ，K∈Z
∴单减区间为：【π/8,5π/8】，K∈Z

Answer 4

先要求f(x)的导函数，然后再令导函数为0就有x的值，