Question

函数f（x）=（x-1）/（2x²-x）在[ 1,2]上最小值是多少？用什么方法求？

Answer 1

f(x)=(x-1)/(2x²-x)
f'(x)=((2x²-x)-(x-1)(4x-1))/(2x²-x)²
=(-2x²+4x-1)/(2x²-x)²
f‘(x)=0
-2x²+4x-1=0
2x²-4x+1=0
2(x-1)²-1=0
x-1=±√2/2
x=1±√2/2时有极值。
x=1+√2/2∈[1,2]
f(1)=(1-1)/(2*1²-1)=0
f(1+√2/2)=(1+√2/2-1)/(2(1+√2)²-(1+√2/2))
=√2/2/(6+4√2-1-√2/2)
=√2/(10+7√2)
=(10√2-14)/2
=5√2-7
≈0.07107
f(2)=(2-1)/(2*2²-2)
=1/(8-2)
=1/6
≈0.17
可见，f(x)min=f(1)=0

Answer 2

解：
f(x)=(x-1)/(2x²-x)
f'(x)=[2x²-x-(x-1)(4x-1)]/(2x²-x)²
f'(x)=(2x²-x-4x²+5x-1)/(2x²-x)²
f'(x)=(-2x²+4x-1)/(2x²-x)²
1、令：f'(x)＞0，即：(-2x²+4x-1)/(2x²-x)²＞0
有：-2x²+4x-1＞0
2x²-4x+1＜0
[x-(2+√2)/2][x-(2-√2)/2]＜0
有：x-(2+√2)/2＜0、x-(2-√2)/2＞0………………………………(1)
或：x-(2+√2)/2＞0、x-(2-√2)/2＜0………………………………(2)
由(1)得：(2-√2)/2＜x＜(2+√2)/2
由(2)得：x＜(2-√2)/2、x＞(2+√2)/2，矛盾，舍去。
即：当x∈((2-√2)/2)，(2+√2)/2)时，f(x)是单调增函数。
2、令：f'(x)＜0，即：(-2x²+4x-1)/(2x²-x)²＜0
有：-2x²+4x-1＜0
2x²-4x+1＞0
[x-(2+√2)/2][x-(2-√2)/2]＜0
有：x-(2+√2)/2＜0、x-(2-√2)/2＜0………………………………(1)
或：x-(2+√2)/2＞0、x-(2-√2)/2＞0………………………………(2)
由(1)得：x＜(2-√2)/2
由(2)得：x＞(2+√2)/2，矛盾，舍去。
即：当x∈(-∞，(2-√2)/2)∪(2+√2)/2，∞)时，f(x)是单调减函数。
已知：x∈[1，2]
故有：
当x∈[1，(2+√2)/2)时，f(x)是单调增函数。
当x∈((2+√2)/2，2)时，f(x)是单调减函数。
当x=(2+√2)/2时，f(x)取得最大值。
f(1)=(1-1)/(2×1²-1)=0
f(2)=(2-1)/(2×2²-2)=1/6
f(1)＜f(2)
所以，f(x)在区间[1，2]上，最小值是0，此时x=1。

Answer 3

求导，可以得出在定义域内为增函数，函数最小值在x=1的时候取得，最小值为0
希望可以帮到你