Question

计算第二型曲面积分ydz^dx-(z+1)dx^dy,

,其中为圆柱面x^2+y^2=4被平面x+z=2和z=0所截部分的外侧

Answer 1

答案是8π，详情如图所示

Answer 2

方法一：高斯公式
补上平面Σ1：z + x = 2，取上侧
和平面Σ2：z = 0，取下侧，围成封闭立体的外侧
∫∫Σ0 ydzdx - (z + 1)dxdy
= ∫∫∫Ω (1 - 1 - 0) dxdydz = 0
∫∫Σ1 ydzdx - (z + 1)dxdy = ∫∫Σ1 (- z - 1)dxdy，上侧
= - ∫∫D (2 - x + 1) dxdy = - 3∫∫D dxdy + 0 = - 12π
∫∫ Σ2 ydzdx - (z + 1)dxdy = ∫∫Σ2 (- z - 1)dxdy，下侧
= - ∫∫D (- 0 - 1) dxdy = ∫∫D dxdy = π * 2^2 = 4π
IΣ + IΣ1 + IΣ2 = IΣ0
IΣ + (- 12π) + (4π) = 0
于是IΣ = 8π
方法二：
Σ = Σ1(左侧) + Σ2(右侧)、作zx面上的积分
Σ1：y ≤ 0、y = - √(4 - x^2)
Σ2：y ≥ 0、y = √(4 - x^2)
0 ≤ z ≤ 4
∫∫Σ (- z - 1) dxdy = 0
∫∫Σ1 ydzdx = ∫∫Σ1 - √(4 - x^2)dzdx，左侧
= - ∫∫D1 - √(4 - x^2) dzdx = ∫∫D1 √(4 - x^2) dzdx
= ∫(- 2→2) dx ∫(0→2 - x) √(4 - x^2) dz = 4π
∫∫Σ2 ydzdx = ∫∫Σ1 √(4 - x^2) dzdx，右侧
= ∫∫D2 √(4 - x^2) dzdx
= ∫(- 2→2) dx ∫(0→2 - x) √(4 - x^2) dz = 4π
于是IΣ = 4π + 4π = 8π