Question

如图,已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线X=1, 顶点是M

（1），设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任意截取一点E（不与B,D重合），经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F，判断△AEF的形状，并说明理由。
（2），当E是直线y=-x+3上任意一点时，（1）中的结论是否成立？

Answer 1

抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线X=1, 顶点是M
对称轴x=1，过
(2,-3a)
，那么根据对称性，抛物线也过（0，-3a），x=0时，y=-3，则a=1
对称轴=-b/(2a)=1,a=1,得b=-2
抛物线：x^2-2x-3=0
顶点M（1，(4ac-b^2)/4）=(1，-4)，抛物线于x轴两交点A(-1,0)B(3,0)，与Y轴交点C（0，-3）
（1），D（0，3）
直线y=-x+3与x轴的交点是B，连接BC，可得三角形ADB,ACB都是直角边为3的等腰直角三角形

则∠EBA=∠FBA=45°
设过ABE的圆圆心为P，叫圆P，圆P交BC于F，F也在圆P上
在圆P中，圆弧AF和圆弧AE所对的圆周角为∠EBA和∠FBA，都等于45°
则有他们所对的圆心角为90°,相加得圆弧EF对的圆心角为180°，得圆心P在EF上，EF所对圆周角∠EAF=90°
且圆弧AF=圆弧AE，AF=AE
则三角形AEF为等腰直角三角形
（2），当E是直线BD上任意一点时结论依然成立（你看第一问的证明里根本没有用过E在BD中间这个条件）