Question

两道线性代数的题目，求大神解答。

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Answer 1

第2题
（1）
因为Aη0=η0=1*η0
则根据特征值的定义，知道1是A的一个特征值

A+3I不可逆，则|A+3I|=0
则|-3I-A|=(-1)³|3I+A|=0
从而-3也是A的一个特征值

又因为任何矩阵的特征值的乘积与行列式|A|相等，而|A|=3
则3个特征值的乘积等于3
则未知的那个特征值是3/1/(-3)=-1
综上所述，A的3个特征值是1、-3、-1

(2)
特征多项式是|λI-A|
即|I-A|、|-3I-A|、|-I-A|

(3)
A⁻¹+I是矩阵A的多项式f(x)=x⁻¹+1

因此特征值是f(λ)即
f(1)=1⁻¹+1=2
f(-3)=(-3)⁻¹+1=2/3
f(-1)=(-1)⁻¹+1=0

(4)
A²+I
是矩阵A的多项式g(x)=x²+1

因此特征值是g(λ)即
g(1)=1²+1=2
g(-3)=(-3)²+1=10
g(-1)=(-1)²+1=2
行列式|A²+I|
=g(1)g(-3)g(-1)
=2*10*2
=40

第3题
（1）矩阵相似，有相等的行列式
|B|=|A|=4

（2）先求A的特征值
|λI-A|=
λ 0 -1
0 λ+1 0
-4 0 λ
=
按第1行展开，得到
λ(λ+1)λ-4(λ+1)
=(λ+2)(λ-2)(λ+1)
=0

解得λ=2，λ=-1，λ=-2
得到3个特征值。

相似矩阵有相同的特征值，因此B的3个特征值是2、-1、-2
矩阵2B是B的多项式f(x)=2x

因此特征值是f(2)=4,f(-1)=-2,f(-2)=-4

矩阵2B⁻¹+I是B的多项式g(x)=2x⁻¹+1
因此特征值是g(2)=2,g(-1)=-1,g(-2)=0
(3)
矩阵B²/2 - 2I
是B的多项式h(x)=x²/2-2
因此特征值是h(2)=0,h(-1)=-3/2,h(-2)=0

|B²/2 - 2I|=h(2)h(-1)h(-2)=0

Answer 2

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