Question

如果a，b，c是三角形三边，求证关于x的方程a²x²+（a²+b²+c²)x+b²无解

Answer 1

a²x²+（a²+b²+c²)x+b²=0
Δ=(a^2+b^2+c^2)^2-(2ab)^2
=[(a+b)^2+c^2][(a-b)^2+c^2]
>0

一定有两个实数根。

题目是不是错了？

追问

如果a，b，c是三角形三边，求证关于x的方程a²x²+（a²+b²-c²)x+b²无解

追答

Δ=(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2
=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)

前三项>0
a-b-c<0

Δ<0

无解。

Answer 2

你好

题目有问题，当a=b=c=1时，原方程为x²+3x+1=0，有实数解

证明
△=（a²+b²+c²)²-4a²b²
=（a²+b²）²+2c²（a²+b²）+c⁴

追问

如果a，b，c是三角形三边，求证关于x的方程a²x²+（a²+b²-c²)x+b²无解

追答

证明
△=（a²+b²-c²)²-4a²b²
=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）
=[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）
三角形中，根据两边之和大于第三边得
a+b-c＞0
a-b+c＞0
a-b-c＜0
又a+b+c＞0
所以△＜0
关于x的方程a²x²+（a²+b²+c²)x+b²无解

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