Question

在数列｛an｝中，已知a1=-1,an+1=Sn+3n-1(n∈N*)，求数列｛an｝的通项公式

Answer 1

解：由an+1=Sn+3n-1（n∈N*）①
得an=Sn-1+3n-4（n≥2）②
①-②得an+1=2an+3（n≥2）
∴an+1+3=2（an+3）（n≥2）
又由②得 a2=S1+6-4=a1+2=1
∴a2+3=4
∴a2+3=2（a1+3）
∴an+1+3=2（an+3）（n≥1）
∴数列{an+3}是首项为2，公比为2的等比数列
∴an+3=2×2n-1=2n
∴数列{an}的 an=2n-3（n≥1）

Answer 2

解：∵数列{a[n]}满足a[n 1]=(a[n] 2)/(a[n] 1)
采用不动点法，设：x=(x 2)/(x 1)
x^2=2
解得不动点是：x=±√2

∴(a[n 1]-√2)/(a[n 1] √2)
={(a[n] 2)/(a[n] 1)-√2}/{(a[n] 2)/(a[n] 1) √2}
={(a[n] 2)-√2(a[n] 1)}/{(a[n] 2) √2(a[n] 1)}
={(1-√2)a[n]-(√2-2)}/{(1 √2)a[n] (√2 2)}
={(1-√2)(a[n]-√2)}/{(1 √2)(a[n] √2)}
={(1-√2)/(1 √2)}{(a[n]-√2)/(a[n] √2)}
=(2√2-3){(a[n]-√2)/(a[n] √2)}

∵a[1]=1
∴(a[1]-√2)/(a[1] √2)=2√2-3
∴{(a[n]-√2)/(a[n] √2)}是首项和公比均为2√2-3的等差数列
即：(a[n]-√2)/(a[n] √2)=(2√2-3)(2√2-3)^(n-1)=(2√2-3)^n
a[n]-√2=a[n](2√2-3)^n √2(2√2-3)^n
a[n][1-(2√2-3)^n]=√2[1 (2√2-3)^n]
∴{a[n]}的通项公式：a[n]=√2[1 (2√2-3)^n]/[1-(2√2-3)^n]

Answer 3

有题可得an=s（n-1）+3（n-1）-1，所以a（n+1）-2an=3，所以a（n+1）+3=2（an+3）所以an=2的n次方-3，n=1时亦成立