Question

已知不等式2x－1＞m(x²－1)对一切m∈(0,1)都成立，求x的范围

如题

Answer 1

2x-1>m(x2-1)
m(x²-1)-(2x-1)<0
m的取值范围是 -1≤m≤1
这个可以把m看成自变量
则 y=m(x²-1)-(2x-1) 表示一条直线
横坐标是 m 纵坐标是 y
当 m=1 和 m=-1 时 y取得最大或最小值
只要这两个最值符合上述关系就可以了
带入
m=1时
x²-1-2x+1<0
x²-2x<0
x(x-2)<0
0<x<2
m=-1时
-x²+1-2x+1<0
-x²-2x+2<0
x²+2x-2>0
(x+1)²>3
x+1>√3 x>√3-1
或
x+1<-√3 x<-√3-1

与 0<x<2取交集得
√3-1<x<2

追问

m的范围是0到1

追答

令H（m）=(x²-1）m-2x+1 当-2≤m≤2时H（m）0时H（2）<o即可 得出 1<x<(1+√3）/2
当x²-1<0时H（-2）<0即可 得出 （√7-1）/2<x<1
当x²-1=0时x=1时成立
所以（√7-1）/2<x<(1+√3）/2

Answer 2

2x-1>m(x2-1)
m(x²-1)-(2x-1)<0
m的取值范围是0 ≤m≤1

把m看成自变量

则y=m(x²-1)-(2x-1) 表示一条直线

横坐标是 m 纵坐标是 y

当 m=1 或m=0时 y取得最大值

当m=0时，y=1-2x

当m=1时，y=x2-2x

所以有1-2x<=0且x2-2x<=0

由1-2x<=0得x>=1/2

由x2-2x<=0得0<=X<=2

因此x的取值范围为【1/2,2】