Question

考研数学：求极限 当x趋向+∞时 lim x*sin(1/x) 的极限：

解法一： 因为x是∞，sin （1/x）是有界量，无穷大乘以有界量是无穷大，故极限不存在

解法二： 令t=1/x 则t趋向于0 ，lim sint/t =1

这两种方法哪个对？ 求解。

谢谢。

Answer 1

解法1错误。
当x→+∞时，1/x→0，sin(1/x)→0
此时：xsin(1/x)是无穷大量乘以无穷小量，不是楼主给出的“无穷大量乘以有界量”！
而在一般情况下，无穷大量乘以无穷小量是不确定的。

Answer 2

解法二是正确的，解法一是错误的，0*∞型，有可能有极限的。

追问

无穷大乘以有界量是无穷大这一说法本身就不对吗？在什么条件下是对的？之前听一个考研辅导班考试讲过这句话，还用这句话解得题。很纳闷。

追答

sin(1/x)是无穷小量，不是有界量，你搞错误了

追问

哦 原来这样啊 多谢 。

追答

有界量是sinx当x→∞时

Answer 3

解法二是正确的，利用了两个重要极限。

Answer 4

好像 无穷小 × 无穷大 是不确定的。我认为是解法2（我是大一的，水平有限）