Question

已知函数f(x)=x²-mx+m-1

（1）当x∈[2,4]时，f(x)≥-1恒成立，求实数m的取值范围。
（2）是否存在整数a，b（a＞b），使得不等式a≤f(x)≤b的解集为｛x|a≤x≤b｝？若存在，求出a,b的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

f(x)=x²－mx＋m－1≥－1
则：
x²－mx＋m≥0
(x－1)m≤x²
因为：1≤x－1≤3
则：
m≤x²/(x－1)=[(x－1)²＋2(x－1)＋1]/(x－1)=[(x－1)＋1/(x－1)]＋2
因为：x－1≥0，则：(x－1)＋1/(x－1)≥2
即：(x－1)＋1/(x－1)的最小值是2
因：m≤【[(x－1)＋1/(x－1)＋2]】最小值，则：m≤4

(2)
x^2-mx+m-1
=(x-m/2)^2+m-1-(m/2)^2
=(x-m/2)^2-(m/2-1)^2
=(x-1)(x-m+1)
a≤f(x)≤b
a≤x≤b存在
f(x)=0
x=1 x=m+1
m>=0
a=1 b=m+1
m<0
a=m+1 b=1