Question

帮帮忙，解一下题

2012•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．

Answer 1

郭敦顒回答：（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：这题正确的解法是：
设矩形蔬菜温室的宽为xm，则长为2xm，那么矩形蔬菜种植区域的宽为xm－1m－1m，长为2xm－3m－1m，于是
（xm－1m－1m）（2xm－3m－1m）=288 m²
化简得（x－2）²=144，x－2=12 （取算术根，即取正值），
∴x=12+2=14（m）
2xm=28 m
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2
比较正确的解法，可知小明解答中设题的主体是矩形蔬菜种植区域，为下一步解题带来了不便，设矩形蔬菜种植区域的宽为xm也可以，但是则长为2xm却没有根据（是温室的长宽比为2：1，条件中没给出种植区域的长宽比），长应是[2（xm+1m+1m）－1 m －3 m ]=2xm，虽然长也是2xm，这却是推理得出的结果，于是得到答案。
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
若矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则有
AB/BC=A′B′/B′C′=[AB－（b+ d）]/[BC－（a+ c）]
∴AB/BC= [AB－（b+ d）]/[BC－（a+ c）]
[BC－（a+ c）] /BC= [AB－（b+ d）]/ AB
∴1－（a+ c）/BC=1－（b+ d）/ AB
∴（a+ c）/BC=（b+ d）/ AB
∴（b+ d）/（a+ c）=AB/BC （这是分比定理的逆定理的推演）

Answer 2

(1)
小明漏掉了漏掉的空地.(因为题目并没有说蔬菜区域长宽比是2比1,所以不能直接设蔬菜区域长为2x,宽为x.但实际上蔬菜区域和温室区域形状是一样的,(2x-3-1):(x-1-1)=2:1,所以算出来的结果一样.)
正确解法应该是:
设温室长为2x,宽为x
(x2-3-1)*(x-1-1)=288
解得:x=14或x=-10(舍)
当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2
(2)
要相似,需要:
AD-(a+c)=2[AB-(b+d)]=2AB-2(b+d)
其中,AD=2AB
所以:a+c=2(b+d)