Question

当x∈(0,1)时,不等式x²<loga(x+1)恒成立 求a的取值范围

Answer 1

x²<loga(x+1)等价于loga（a^x²)<loga(x+1)  =>0<a<1时有：a^x²>x+1；当a>1时有：a^x²<x+1

1. 当0<a<1时，a^x²>x+1  =>Ln（a^x²)>Ln(x+1)  =>  x²Lna>Ln(x+1), =>Lna>Ln(x+1)/x²;

   令f(x)=Ln(x+1)/x²;，求导得导函数为： [x-2(x+1)Ln(x+1)]/[(x+1)x^3]，在x∈(0,1)处，分母大于0，对分子求导得：-1-2Ln(x+1)小于0，分子为递减函数。将0代入分子求得0，则在x∈(0,1)处，分子均小于0，所以f(x)为减函数。f(x)最大值为x趋于0时的值，为无穷大，则a不能满足Lna>Ln(x+1)/x²，此种情况是不可能的。

2. 当a>1时有：a^x²<x+1，类似1.有：Lna<Ln(x+1)/x²，仍令f(x)=Ln(x+1)/x²，此时应求出f(x）的小值。f(x）为减函数，带入x=1时有最小值：Ln2。但x取不到1，则f(x)=Ln(x+1)/x²>Ln2,

   故Lna<=Ln2  =>a<=2

3. 所以a的取值范围为：  1<a<=2