Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax^2+bx函数g(x)在x=1处取得极值, 确定a和b的关系

Answer 1

您好！很高兴为您解答！
f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax²+bx=ax²+bx+lnx;
函数g(x)在x=1处有极值，则函数g(x)的导函数g‘（x）在x=1处等于0；
g'(x)=2ax+b+1/x;
g'(1)=2a+b+1=0
则a与b之间的关系为：
b=-1-2a

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追问

若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性

追答

您好！判断单调性讨论如下：
g(x)=ax²+bx+lnx,且g'(x)=2ax+b+1/x;
且有g'(1)=0;
1、a=0时，g'(x)=b+1/x=(bx+1)/x;
又b=-1-2a=-1,则g'(x)=(1-x)/x
①x(1-x)≥0*******0＜x≤1时，g'(x)＞0,函数g(x)单调递增；
②反之，x＜0或x＞1时，g'(x)0时，g'(x)=2ax+b+1/x=（2ax²+bx+1)/x=(2ax²-(1+2a)x+1)/x;
令Q(x)=2ax²-(1+2a)x+1
则Δ=（1+2a)²-4*2a*1=1+4a+4a²-8a=1-4a+4a²=(1-2a)²≥0
①当a=1/2时，Δ=0，Q(x)=0有且只有一个解，x=2,要使得g'(x)=2ax+b+1/x=（2ax²+bx+1)/x= (2ax²-(1+2a)x+1)/x＞0，详细分析如下：
一若x0,g'(x)2时Q(x)>0,g'(x)>0,函数g(x)单调递增；且在x=2处有极值
②当01/2时，Q(x)=0有两个不相同的解：
Ⅰ、01;
Ⅱ、a>1/2时，Q(x)=0，x=1;
⑴x1/(2a)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增。

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