Question

已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(其中A>0,w>0,0<φ<π/2)的图象关于点B(-派/4,0)对称，点B到函数y=f(x)的图像

的对称轴的最短距离为派/2，且f(派/2)=1
求
1。求a, w, φ的值
2.若0<zita<pai,且f(zita)=1/3,求cos2zita

Answer 1

已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(其中A>0,w>0,0<φ<π/2)的图象关于点B(-派/4,0)对称，点B到函数y=f(x)的图像 的对称轴的最短距离为派/2，且f(派/2)=1；求
1。求a, w, φ的值
2.若0<zita<pai,且f(zita)=1/3,求cos2zita

(1)解析：∵函数f(x)=Asin(wx+φ)(其中A>0,w>0,0<φ<π/2)的图象关于点B(-派/4,0)对称，点B到函数y=f(x)的图像 的对称轴的最短距离为派/2
∴T/4=π/2==>T=2π==>w=1
∴f(x)=Asin(x+φ)
∴f(-π/4)=Asin(-π/4+φ)=0==>-π/4+φ=0==>φ=π/4；
-π/4+φ=π==>φ=5π/4>π/2
∴f(x)=Asin(x+π/4)
f(π/2)=Asin(π/2+π/4)=1==>3π/4=π-arcsin(1/A)
arcsin(1/A)= π/4==>1/A=√2/2==>A=√2；
∴A=√2，w=1，φ=π/4==>f(x)=√2sin(x+π/4)

(2)解析：设0<θ<pai,且f(θ)=1/3,
f(θ)=√2sin(θ+π/4)=1/3==>sin(θ+π/4)=√2/6==>√2/2(sinθ+cosθ)=√2/6
sinθ+cosθ=1/3
与(sinθ)^2+(cosθ)^2=1联立解得
2(cosθ)^2-2/3cosθ-8/9=0==> cosθ=(1-√17)/6或cosθ=(1+√17)/6
Sinθ=(1+√17)/6或sinθ=(1-√17)/6
∴cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=-√17/9或√17/9