Question

设L为取正向的圆周X^2+Y^2=9,则曲线积分∫(L)（2XY-2Y)dx+(x^2-4x)dy的值是多少

设L为取正向的圆周X^2+Y^2=9,则曲线积分∫(L)（2XY-2Y)dx+(x^2-4x)dy的值是多少
为什么不要挖去原点？在原点不是不连续吗？

Answer 1

答：- 18π

不用挖，因为被积函数压根没有奇点存在。
P = 2xy - 2y、P'y = 2x - 2
Q = x² - 4x、Q'x = 2x - 4
Q'x - P'y = (2x - 4) - (2x - 2) = - 2
∮_(L) (2xy - 2y)dx + (x² - 4x)dy
= ∫∫_(D) (- 2) dxdy
= - 2∫∫_(D) dxdy，D为区域x² + y² ≤ 9
= - 2 * D的面积，
= - 2 * 9π
= - 18π

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

记l围成的区域为d，d的面积是9π.
设p(x,y)＝2xy-2y，q(x,y)＝x^2-4x，则αp/αy＝2x-2，αq/αx＝2x－4，由格林公式，∫(l)（2xy-2y)dx+(x^2-4x)dy＝∫∫(d)[(2x-4)－(2x-2)]dxdy＝－2∫∫(d)＝－2×9π＝－18π