Question

线性代数方法解数学题，高分悬赏！！！！

证明：对于任意实数x有c1*sinx+c2*sin2x+...+cn*sinnx=0（n是自然数，c1，c2，...cn是实数）成立的充分必要条件是，c1=c2=...=cn=0

Answer 1

充分性：将c1=c2=...=cn=0带入c1*sinx+c2*sin2x+...+cn*sinnx=0成立，得证充分性成立
必要性：c1*sinx+c2*sin2x+...+cn*sinnx看做两个n维向量相乘，
令a=（c1，c2，......，cn），b=（sinx，sin2x，......,sinnx）
则a·b=c1*sinx+c2*sin2x+...+cn*sinnx=lallblcosα，因为随着x的变化lbl和α都在变化，要让这个式子恒为零，只能让lal为零，及c1²+c2²+......+cn²=0，即c1=c2=...=cn=0。于是得证必要性成立
综上可得对于任意实数x有c1*sinx+c2*sin2x+...+cn*sinnx=0（n是自然数，c1，c2，...cn是实数）成立的充分必要条件是，c1=c2=...=cn=0

Answer 2

必要性：两边同时×sin kx(k=1,2,...,n)再两边从0到2π积分
只有一项积分不等于0：
ck ×积分_0^π sin ^2 kx dx=0(右边）
得ck=0(k=1,2,...n）
充分性：显然
线性代数法：两边求2k-1阶导数再令 x=0(k=1,2,...n)
得 c 1+2c2+3c3+...+ncn=0(k=1)
c1+2^3C2+3^3c3+ ..+n^3cn=0(k=2)
c1+2^5c2+3^3C3+...+n^5cn=0(k=3)
.....
c1+2^(2n-1)c2+,,,+ n^(2n-1)cn=0
系数行列式不等于0，得c1=c2=..=cn=0

Answer 3

充分性显然
必要性只要用 \int_0^{2pi} sinkx (c1*sinx+c2*sin2x+...+cn*sinnx) dx=0 推出 ck=0 即可

Answer 4

利用矩阵证明其非线性相关就行