Question

一道关于数学期望的题目

一物品分0--9，共10个等级。现运用某技术对其进行升级，每次至多使其提升1个等级。已知该物品从0级被升到1级的概率为100%，从1级被升到2级的概率为90%…… 从8级被升到9级的概率为20%（每次概率递减10%）。则该物品从0级被升到9级所需升级次数的数学期望为多少。请给出结果及步骤

Answer 1

我觉得吧，这个问题还是主要是思路的问题，而不是列一大堆计算式。思路对了这个问题还是挺简单的。
从0级升级到9级需要的平均次数，也就是升级次数的数学期望，肯定是等于从0级升级到1级的平均次数+1级到2级升级的平均次数+...+8级到9级升级的平均次数。这个应该比较容易想，因为从n升到n+1和n+1升级到n+2不相干，并且都是必要的步骤，所以肯定是这样。
Ok，下面只要计算从n级升级到n+1级的所需次数的数学期望就好啦，最后把他们加起来就是结果。

从第n级升级到n+1级成功的概率是p，那么你看这个升级次数的分布：

1次升级成功概率：p
2次升级成功概率：(1-p)p
3次升级成功概率：(1-p)^2*p
...
第k次升级成功概率：(1-p)^(k-1)*p
这不就是标准的几何分布吗~ （http://baike.baidu.com.cn/view/615028.htm）
这个分布的期望你想算也行，不想算也有公式，就是E(n) = 1/p，
那这个问题不就很简单了，把p = 1, 0.9, 0.8....,0.2带入1/p然后把它们加起来就OK啦：

E(n)升级到9级就是：1/1+1/0/9+1/0.8+...+1/0.2 = 19.2897，你要想写成那种分数的也成，我就用计算器算了，算出小数的这种。

所以计算期望这种问题，重点还是要写出分布列，或者算出分布函数才行。

Answer 2

该物品从0级被升到9级所需升级次数X
X=9,10,----
用Xi表示该物品从第i级升到第i+1级时所用的升级次数（i=0,1,...8)则Xi服从参数是pi=(100-10i)%几何分布，:P(xi=k)=(1-pi)^(k-1) pi,k=1,2,...,由于几何分布的数学期望EXi=1/pi
以及X=X0+X1+...+X8根据和的期望等于期望值和得
EX=EX0+EX1+..+EX8=1+1/0.9+1/0.8+...+1/0.2
=1+10/9+10/8+.+10/2
=1+10[1/9+1/8+..+1/2]
=1+10[1/9+1/6+1/3+1/8+1/4+1/2+1/7+1/5]
=1+10[11/18+7/8+12/35]
=1+10[107/72+12/35]
=1+10[107*35+12*72]/72*35
=1+[3500+245+720+144]/36*7
=1+[4220+389]/252
=1+4609/252=4861/252

Answer 3

概率总和=1+0.9+0.9*0.8+0.9*0.8*0.7+0.9*0.8*0.7*0.6+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5*0.4+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5*0.4*0.3+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5*0.4*0.3*0.2=4.2042428
数学期望
={1*1+0.9*2+0.9*0.8*3+0.9*0.8*0.7*4+0.9*0.8*0.7*0.6*5+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5*6+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5*0.4*7+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5*0.4*0.3*8+0.9*0.8*0.7*0.6*0.5*0.4*0.3*0.2*9}/4.2042428
=9.9963/4.2=2.38

Answer 4

总的期望次数=(0→1)的期望次数+(1→2)的期望次数+…+(8→9)的期望次数
=1/1+[1/0.9]上取整+[1/0.8]上取整+…+[1/0.2]上取整
=1+2+2+2+2+2+3+4+5=23(次)

Answer 5

应该不用取整，19.28