Question

导数问题3

已经函数f(x)=根号x,g(x)=x/(4x-a).函数g(x)在(1,正无穷)上单调递减。
(1)实数a的取值范围;
(2)设函数h(x)=f(x)g(x),x属于[1,4],求函数y=h(x)的最小值

Answer 1

（1）
g(x)=x/(4x-a)=1/4[(4x-a)+a]/(4x-a)
=1/4+(1/16*a)/(x-a/4)
将y=(1/16*a)/x图像平移|a|/4个单位得到g(x)
a>0时，y=(1/16*a)/x在（0，+∞）上单调递减
∵函数g(x)在（1，+∞）上单调递减
∴a>0且a/4≤1
∴0<a≤4

（2）
h(x)=f(x).g(x)
=x√x/(4x-a)
h'(x)=(3/2*√x*(4x-a)-4x√x)/(4x-a)²
=√x(2x-3/2a)/(4x-a)²
=2√x(x-3/4a)/(4x-a)²

当3/4a≤1即0<a≤4/3时，
h'(x)≥0恒成立，h(x)在[1,4]上为增函数
∴h(x)min=h(1)=1/(4-a)

当1<3/4a<4即4/3<a<16/3时，
1≤x<3/4a,h'(x)<0，h(x)递减
3/4a<x≤4时，h'(x)>0,h(x)递增
∴h(x)min=h(3/4a)=(3/4a√(3/4a)(2a)=3√(3a)/16

当3/4a≥4即a≥16/3时，h'(x)≤0,h(x)递减
h(x)min=h(4)=8/(16-a)