Question

一道高数（微分方程）的题目！

已知微分方程dy/dx+p(x)y=f(x)。
有两个特解y1=-1/4x^2 y2=-1/4x^2-4/(x^2)
求满足的p(x),f(x),并给出方程通解。

key:
2/x
-x
C4/(x^2)-1/4x^2

Answer 1

(1)不是应该去掉一个积分号，就加一个任意常数C吗，公式里有三个积分号，为什么最后只有
一个C?
答：这是一阶微分方程通解公式，在写这个公式时，就只有一个积分常数，不要把里面的积分
符号看作没写积分常数的不定积分。事实上，不用此公式求解，就知道只有一个积分常数。
(2).
∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx=-∫d(cosx)/cosx=-ln(cosx)+c;
在解微分方程时，一般都不加绝对值符号。
不用上面的公式求通解：
先求齐次方程
y'+ytanx=0的通解：分离变量得
dy/y=-tanxdx；
积分之得
lny=ln(cosx)+lnc=ln(ccosx)；即有齐次方程的通解为
y=ccosx;
将c换成x的函数u，得
y=ucosx.........①；对①取导数得
y'=u'cosx-usinx.........②
将①②代入原式得
u'cosx-usinx+ucosx=cosx；化简得
u'=1，故u=x+c.........③；
将③代入①式即得原方程的通解为：y=(x+c)cosx.

Answer 2

（y1)'=(1/4x^2)'=1/2*x
(y2)'=-1/2*x+8/(x^3)
将y1 y2 和（y1）’ （y2）'代入微分方程，得
-1/2*x-1/4*x^2*p(x)=f(x) （1）
-1/2*x+8/(x^3)-1/4x^2 p(x)+4/(x^2) p(x)=f(x) （2）
两式相减，得4/x^2 *p（x）=8/x^3

于是p(x）=2/x

代入（1）式，得f(x)=-x

于是原微分方程为y’+2/x*y=-x

此为标准的一阶线性方程，代入公式得：C4/(x^2)-1/4x^2

上面微分方程也可以这样作：

(xy'+2y)/x=-x
x^2y'+2xy=-x3
(x^2y)'=-x^3
x^2y=-1/4*x^2+c'
y=-1/4x^2+c'/(x^2)
c'为常数，此可做为答案，若让其同参考答案一致，令c’=4c