Question

已知定义在R上的函数满足F(X+1)=-F(X).当X∈[0,1]时F(X)=1/2-X,若g（X）=F（x）-m（X+1）在区间（-1,2]有

已知定义在R上的函数满足F(X+1)=-F(X).当X∈[0,1]时F(X)=1/2-X,若g（X）=F（x）-m（X+1）在区间（-1,2]有3个0点，则实数m的取值范围是 ？？

Answer 1

∵F(X+1)=-F(X).

∴F(x+2)=F[(x+1)+1]=-F(x+1)=F(x)

∴F(x)是周期函数，周期T=2

当X∈[0,1]时F(X)=1/2-X

取x∈(-1,0],则x+1∈(0,1]

那么f(x)=-f(x+1)=-[1/2-(x+1)]=x+1/2

取x∈(1,2],则x-2∈(-1,0]

∴f(x)=f(x-2)=x-2+1/2=x-3/2

画出以上3段f(x)的图像，为折线

令g(x)=0,得到F(x)=m(x+1)

直线y=m(x+1)过A(-1,0),斜率为m

g(x)也在区间(-1,2]上有3个零点，

则需直线Ly=m(x+1)与F(x)图像有3个交点

令B(1,-1/2),C(2,1/2)

则符合条件的直线L在射线AC与AC之间

m>kAB=-1/4,m<kAC=1/6

∴m的取值范围是-1/4<m<1/6