Question

已知函数F(X)=x/3x+1,数列an满足：a1=1，an+1=f（an）

1,求证1/an是等差数列，并求数列an的通项公式。
2求Sn=a1a2+a2a3+..........+an*a(n+1)
3求证：Sn＜1/3

Answer 1

f(x)=x/(3x＋1)
则：
a(n＋1)=[a(n)]/[3a(n)＋1]
两边取倒数，得：
1/[a(n＋1)]=3＋[1/a(n)]
即：
1/[a(n＋1)]－1/[a(n)]=3=常数
则数列{1/a(n)}是以1/a1=1为首项、以d=3为公差的等差数列，得：
1/a(n)=3n－2
则：
a(n)=1/(3n－2)

ana(n＋1)=[1/(3n－2)×(3n＋1)]=(1/3)[1/(3n－2)]－[1/(3n＋1)]
S(n)=(1/3)×{[1/1－1/4]＋[1/4－1/7]＋…＋[1/(3n－2)－1/(3n＋1)]}
S(n)=(1/3)×[1－1/(3n＋1)]=n/(3n＋1)

S(n)=(1/3)×[1－1/(3n＋1)]
因为：1－1/(3n＋1)<1
则：S(n)<1/3

Answer 2