Question

1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2求和怎么求？

Answer 1

可以根据1/n(n-1)（或者1/(n(n+1))）这个求和，来大致估算这个求和的大小范围；
直接计算在高中阶段完成不了；
有问题请追问！

追问

我上大学了，考研对这个就想知道怎么求，要是会的话请写出步骤，谢谢！

追答

你好：

一)泰勒级数

首先是预备知识: 

多项式 f(x) = a0 + a1x + a2x² + ....+ anx^n

由韦达定理，常数项a0=1时，f(x)=0根的倒数和 等于 一次项系数a1的相反数

将sinx按泰勒级数展开: sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ … 

那么 sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ … 

令y＝x^2, 有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …

由sinx＝0的根为0,±π,±2π,…

知 f(y)=sin√y/√y 的零点为 π²,(2π)²,(3π)²,…

由之前的韦达定理: 1/π²＋1/(2π)²＋(3π)²+…＝1/3!

整理一下: 1/1²+1/2²+1/3²+...=(1/3!)π²=π²/6 , 

二)傅里叶级数的请见下图

Answer 2

答案是π^2/6，应用傅氏级数展开，这是大学高等数学的内容

追问

有详细步骤吗？

追答

你如果没有学过高数的话是看不懂的~要用傅里叶级数展开一个函数，再取特殊值即可

Answer 3

傅里叶级数

追问

有详细步骤吗?

追答

额 可以去看数学分析 下册