Question

正方形ABCD中,E,F分别是AD,DC的中点,AF,BE交于点G,连结CG,证明:三角形CGB是等腰三角形.

Answer 1

证明：因为四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是AE、DC的中点，所以AD=BA、DF=AE、角ADF=角BAE=90°，所以△ADF全等△BAE,角EBA=角FAD、角AEB=角DFA,角FAD+AFD=90°，所以角AEB+角FAD=90°，所以角AGE=90°，所以AF垂直BE；过C做CP‖AF交AB于P，交BE于Q ,因为CD‖AB，
所以FCPA为平行四边形
FC=AP=1/2*AB，
即P为AB中点，所以Q为BG中点
因为AF⊥BE，CP⊥BE
所以CQ是BG垂直平分线
所以CG=CB
所以三角形GCB为等腰三角形。

Answer 2

可以直接计算三角形CBG的CG边和BC边的长度，发现CG=BC.所以它是等腰三角形。
方法二：设AB 中点H ，连CH。可以证得CH垂直平分BG,也能得到问题结论。

Answer 3

过C做CP‖AE交AB于P，交BE于Q
因为CD‖AB，
所以FCPA为平行四边形
FC=AP=1/2*AB，
即P为AB中点，所以Q为BG中点
因△AEB≌△ADF
有∠DFA=∠AEB
有∠AGE=∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°
所以AF⊥BE，CP⊥BE
所以CQ是BG垂直平分线
有CG=CB
等腰三角形GCB，CG=BC

Answer 4

nan