Question

利用r(A+B)≤r(A)+r(B)证明r(A+B)≥r(A)－r(B)

Answer 1

r(A)=r(A+B-B)≤r(A+B)+r(-B)=r(A+B)+r(B)
所以 r(A+B)≥r(A)－r(B)

Answer 2

用a表示阿法用b表示贝塔:由最大线性无关组的定义可知,A和B中每一列向量都可由其线性无关组线性表出:a(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+..+sp*a(p);b(i)=t1*b(1)+t2*b(2)+.+tq*b(q);故友a(i)+b(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+..+sp*a(p)+t1*b(1)+t2*b(2)+.+tq*b(q).那么说明A+B中的每一列向量均可由a(1),a(2).a(p),b(1),b(2).b(q)线性表出,因此A+B的秩必然小于或等于a(1),a(2).a(p),b(1),b(2).b(q)的秩.