Question

求曲线积分∫e^√x^2+y^2ds 其中l为单位圆周、直线y=√3x及x轴在第一象限内所围成的

求曲线积分∫e^√x^2+y^2ds 其中l为单位圆周、直线y=√3x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

Answer 1

先将扇形边界分为三条边，并设为L1，L2和L3：(L2是弧长，宜用极坐标化简)

L1是y = √3 x、dy/dx = √3，x∈[0，1/2]

L2是x^2 + y^2 = 1化为极坐标r = 1，θ∈[0，π/3]，ds = √[r^2 + (r')^2] dθ = dθ

当然用参数方程也可以，令x = cost，y = sint，ds = √[(sint)^2 + (cost)^2] dt = dt，t∈[0，π/3]

参数方程与极坐标的差别是极坐标一定是以原点为中心，而圆的参数方程是以圆心为中心。

但是这题的圆心在原点，所以用极坐标和参数方程都没有分别。

L3是y = 0、dy/dx = 0，x∈[0，1]

{ 解L1和L2的方程组可得它们的交点为：(1/2，√3/2)

{ 即L1的取值范围是x∈[0，1/2]，其与x轴的夹角为π/3，这夹角对L2化为极坐标时适用

所以∫(L) e^√(x^2 + y^2) ds是由三个积分合起。

   ∫(L1) e^(x^2 + y^2) ds

= ∫(L1) e^√[x^2 + (√3 x)^2] √[1 + (dy/dx)^2] dx

= ∫(L1) e^√(x^2 + 3x^2) √[1 + (√3)^2] dx

= ∫(L1) e^√(4x^2) √(1 + 3) dx

= ∫(0→1/2) 2e^(2x) dx

= e^(2x)：(0→1/2)

= e^(2 * 1/2) - 1

= e - 1

   ∫(L2) e^√(x^2 + y^2) ds，化为极坐标

= ∫(L2) e^√(1) √[r^2 + (r')^2] dθ

= ∫(0→π/3) e dθ

= (π/3)e

   ∫(L3) e^√(x^2 + y^2) ds

= ∫(L3) e^√(x^2 + 0) √[1 + (dy/dx)^2] dx

= ∫(L3) e^x √(1 + 0) dx

= ∫(0→1) e^x dx

= e^x：(0→1)

= e - 1

所以∫(L) e^√(x^2 + y^2) ds = ∫(L1+L2+L3) e^√(x^2 + y^2) ds

= (e - 1) + (π/3)e + (e - 1)

= (π/3)e + 2(e - 1)

该值约为6.28314

注意曲线积分的曲线方程可直接代入被积函数里。

Answer 2

求曲线积分∫e^√(x²+y²)ds 其中l为单位圆周、直线y=(√3)x及x轴在第一象限内所围成的扇形的
整个边界.
解：设单位园与ox轴得交点为A，与直线y=(√3)x得交点为B，那么
∫e^√(x²+y²)ds=【OA] ∫+【O⌒A】 ∫+【BO】 ∫
线段OA：x=t，y=0，0≦t≦1；
园弧O⌒A：x=cost，y=sint，0≦t≦π/3；
线段BO：x=(1/2)t，y=(√3/2)t，0≦t≦1；
故原式=【0，1】∫e^tdt+【0，π/3】∫[e^√(cos²t+sin²t)]√[(-sint)²+(cost)²]dt
+【1，0】∫[(e^√(t²/4+3t²/4)]√(1/4+3/4)dt
=(e-1)+【0，π/3】∫edt+【1，0】∫e^tdt
=(e-1)+(π/3)e+(1-e)=(π/3)e

追问

对于t，sint ,cost 中t是角，对于直线oA来说t是参数，怎么可以？

追答

这是分段积分，各段的t的含意是不一样的！对不同的线段，可以采用不同的参数，比如
对直线段OA用m，对园弧段A⌒B用t，对直线段BO用n；但这仅仅是参数的名称而已！
无所谓的！我是懒得罗嗦，都用同一个t，但赋予了不同的含意。

追问

具体思路我懂了，采纳了。只是。。我们不是一个题。我的根号下是x y 的平方和 。还是谢谢你了。

追答

你这话我就不懂啦！怎么不是同一个题呢？听我详细道来：
设曲线L的参数方程是x=φ(t)，y=ψ(t)；其中φ(t)，ψ(t)具有一阶连续导数；当参数t从α变到β
时，曲线L上的点的路径为弧AB，如果f(x，y)在弧AB上连续，则积分【A⌒B】∫f(x，y)ds
存在，并且可以表达为定积分【A⌒B】∫f(x，y)ds=【α，β】∫f[φ(t)，ψ(t)]√[φ'(t)+ψ'(t)]dt；
这是关于线积分定理的完整复述。下面再回到你的问题：
你给的积分路径是一个半径r=1，园心角θ=π/3的扇形的边界OABO；
直线段OA，其参数方程我选为x=φ(t)=t，y=ψ(t)=0，0≦t≦1；那么φ‘(t)=1，ψ'(t)=0；于是在
OA段的积分=【0，1】∫[e^√(t²+0²)][√(1²+0²)]dt=【0，1】∫(e^t)dt=e^t【0，1】=e-e⁰=e-1；
园弧A⌒B段，其参数方程为x=φ(t)=cost，y=ψ(t)=sint，0≦t≦π/3，φ'(t)=-sint，ψ’(t)=cost；
于是在A⌒B段的积分=【0，π/3】∫[e^√(cos²t+sin²t)]√[(-sint)²+cos²t]dt
=【0，π/3】∫edt=et【0，π/3】=(π/3)t；
直线BA，其参数方程为x=φ(t)=(1/2)t，y=ψ(t)=(√3/2)t，t从1变到0，φ‘(t)=1/2，ψ'(t)=√3/2；
于是在BA段的积分=【1，0】∫{e^√[(t/2)²+(t√3/2)²]}{√[(1/2)²+(√3/2)²=【1，0】∫e^tdt
=e^t【1，0】=e⁰-e=1-e；
故【L]∫e^√(x²+y²)ds =(e-1)+(π/3)t+(1-e)=(π/3)t；
这是求解的最详细的过程，你说怎么与你的不是同一个题？如果是同一个题，那又该怎么作呢？
我很希望听到你的再追问。