Question

设a b c为正数，求证a的十二次方／bc＋b的十二次／ac＋c的十二次方／ab大于等于a的十次方＋b的十次方＋...

设a b c为正数，求证a的十二次方／bc＋b的十二次／ac＋c的十二次方／ab大于等于a的十次方＋b的十次方＋c的十次方，用柯西不等式解

Answer 1

不妨设a>=b>=c,所以(a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab)=(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab),然后由排序不等式得(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab)>=1/3*(a^10+b^10+c^10)*（a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab）
而（a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab）由均值不等式得>=3,
所以(a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab)=(a^10*a^2/bc+b^10*b^2/ac+c^10*c^2/ab)>=1/3*(a^10+b^10+c^10)*（a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab）>=a^10+b^10+c^10
得证

参考:
由轮换对称性，不妨设 a≥b≥c. 则有 1/(bc)≥1/(ac)≥1/(ab)，
以及 1/c≥1/b≥1/a，所以 a^12/(bc) +b^12/(ac)+ c^12/(ab) 为顺序和，由于顺序和不小于乱序和，因此有
a^12/(bc) + b^12/(ac) + c^12/(ab)
≥a^12/(ac) + b^12/(ab) + c^12/(bc)
=a^11/c + b^11/a + c^11/b (这是乱序和，其不小于反序和)
≥a^11/a + b^11/b + c^11/c
=a^10 + b^10 + c^10
原不等式成立。