Question

设实数X,Y满足3≤XY^2≤8,4≤X^2/Y≤9,求X^3/Y^4的最大值

这个题有一个解法是因为上面的条件，有常数lg 3≤lgX+2lgy≤3lg2,2lg 2≤2lgX-lgy≤2lg3 ,最后解出最大值是27，解的过程没问题，主要是不太明白经常会出现这种条件后二边就可以取对数有这样的等式或不等式成立，这是什么原理，能否请解释清楚，看看这个方法能不能解x^2-4y^2这个式子能不能取对数成立另一个式子呢？

Answer 1

1、因为f(x)=lgx是增函数，所以若a<x<b的话就有f(a)<f(x)<f(b)。
所以
3≤XY^2≤8
可以推出
lg 3≤lg(Xy^2)≤3lg2,而lg(xy^2)=lgx+2lgy,所以

lg 3≤lgX+2lgy≤3lg2

2、不行，去对数只能把乘法和除法变成加法和减法。式子本身有加减法就无能为力了

追问

这个道理没有问题，但比如求不等式的时候这么变，如果不是两边都扩大缩小了同样的比例，这么做对不对呢？如果这么做没问题，哪后面2可以变加减为乘法和除法呀l lg x^2-lg4y^2

追答

扩大缩小相同比例当然没问题，比如如果kf(a)>kf(b)肯定可以推出f(a)>f(b)(k不等于0)。至于后面的lg(x^2-4y^2)和lgx^2-lg4y^2是不相等的。你取x^2=10,4y^2=10看看。