Question

y=sina/(cosa+2)的值域

Answer 1

y=sinα/(cosα+2)的值域
解：令y'=[(cosα+2)cosα+sin²α]/(cosα+2)²
=(cos²α+2cosα+sin²α)/(cosα+2)²
=(1+2cosα)/(cosα+2)²=0
由1+2cosα=0，cosα=-1/2，得驻点α=2kπ±2π/3；取k=0，当α<2π/3时y'>0；当α>2π/3时，y'<0；
故α=2π/3是极大点，极大值ymax=y(2π/3)=sin(2π/3)/[cos(2π/3)+2)]=(√3/2)/(-1/2+2)=√3/3；
再取α=-2π/3，当α<-2π/3时y'<0；当α>-2π/3时y'>0，故α=-2π/3是极小点，极小值ymin=y(-2π/3)
=sin(-2π/3)/[cos(-2π/3)+2]=-sin(2π/3)/[cos(2π/3)+2]=-sin(π/3)/[-cos(π/3)+2]=-√3/3；
故值域为：-√3/3≦y≦√3/3。

追问

有种方法是吧cosa 2乘到y上去，请问怎么做？

追答

回答
去分母得y(cosα+2)=sinα=√(1-cos²α)；
平方去根号得y²(cos²α+4cosα+4)=1-cos²α；
即有(y²+1)cos²α+4y²cosα+4y²-1=0；
于是得cosα={-4y²±√[16y⁴-4(y²+1)(4y²-1)]}/[2(y²+1)]=[-4y²±√(1-3y²)]/[2(y²+1)]
由于cosα必须是实数，故其判别式△=1-3y²≧0，即3y²≦1，y²≦1/3，
故得-√3/3≦y≦√3/3................①
又因为-1≦cosα≦1，
故∣[-4y²-√(1-3y²)]/[2(y²+1)]∣=[4y²+√(1-3y²)]/[2(y²+1)]≦(4y²+1)/[2(y²+1)≦1
即有4y²+1≦2y²+2，2y²≦1，y²≦1/2，故得-√2/2≦y≦√2/2............②
①∩②={y∣-√3/3≦y≦√3/3}，这就是y的值域。
【因为∣-4y²+√(1-3y²)∣<∣-4y²-√(1-3y²)∣，故只需
考虑∣[-4y²-√(1-3y²)]/[2(y²+1)]∣≦1就行了】