Question

高数，定积分的应用，求教啊啊啊！！！谢了！！！

设当x∈[2，4]时，有不等式ax+b≥lnx.其中 a.b为常数，试求使积分I=∫(2→4)(ax+b-lnx) dx取得最小值的a和b.

Answer 1

(nlnx)'=1/x>0 (lnx)''<0 ,故lnx的图像在[2,4]上是单增且凸的。
由于ax+b-lnx》0，直线ax+b位于lnx的上方。按照定积分的几何意义：所求定积分就是ax+b和lnx围成的图形的面积。当面积最小时，直线ax+b与lnx有唯一的交点，即直线ax+b就是lnx上某点的切线，设切点为x0,y0 ,于是：
ax+b=1/x0(x-x0)+y0=x/x0-1+lnx0
a=1/x0 b=lnx0-1
I=∫(2→4)(x/x0-1+lnx0-lnx) dx

=∫(2→4)(x/x0+lnx0) dx+∫(2→4)(-1-lnx) dx
=6/x0+2lnx0+∫(2→4)(-1-lnx) dx=F(x0)
F'(x0)=-6/x0^2+2/x0 =0 解得x0=3

a=1/3 b=ln3-1