Question

已知f(x)=1/2（x^2）-alnx讨论f(x)单调性

已知f(x)=1/2（x^2）-alnx讨论f(x)单调性（要详细过程），谢谢

Answer 1

解:
f(x)=1/2x^2-alnx
f'(x)=x- a/x=(x^2-a)/x
所以
①当a<0时
x^2-a>0恒成立
所以此时f(x)的增区间为(0,正无穷)
减区间为(负无穷,0)
②当a=0时
x^2>0恒成立
所以此时f(x)的增区间为(0,正无穷)
减区间为(负无穷,0)
③当a>0时
f'(x)=(x^2-a)/x=(x+根号a)(x-根号a)/x
令f'(x)>=0
则x∈[-根号a,0)∪[根号a,正无穷)
所以f(x)在[-根号a,0)∪[根号a,正无穷)单调递增
令f'(x)<=9
则x∈(负无穷,-根号a]∪(0,根号a]
所以f(x)在(负无穷,-根号a]∪(0,根号a]单调递减

追问

x的取值不是应该x>0么

追答

解:定义域x>0
f(x)=1/2x^2-alnx
f'(x)=x- a/x=(x^2-a)/x
所以
①当a0恒成立
所以此时f(x)的增区间为(0,正无穷)
无减区间
②当a=0时
x^2>0恒成立
所以此时f(x)的增区间为(0,正无穷)
无减区间
③当a>0时
f'(x)=(x^2-a)/x=(x+根号a)(x-根号a)/x
令f'(x)>=0
则x∈[根号a,正无穷)
所以f(x)在[根号a,正无穷)单调递增
令f'(x)<=0
则x∈(0,根号a]
所以f(x)在(0,根号a]单调递减
改好了