Question

对于任意x∈R,不等式2x²-a√(x²+1)+3>0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解:令(x^2+1)^(1/2)=t,则t≥1,且x^2=t^2-1。易知原条件相当于:
对于任意t>1,以下不等式恒成立:
2(t^2-1)-at+3>0
即
2t^2-at+1>0......①
令f(t)=2t^2-at+1,分两种情况讨论:
1.若-a/2(-2)≥1,则a≥4,此时前述条件相当于
f(a/4)>0
即
a^2/8-a^2/4+1>0
即
a^2<8
这与a≥4矛盾。
2.若-a/2(-2)<1,则a<4,此时前述条件相当于
f(1)>0
即
2-a+1>0
即
a<3
综上所述,a的取值范围是a<3。
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Answer 2

2x^2-a√(x^2+1)+3
=2(x^2+1)-a√(x^2+1)+1
=2[(√(x^2+1)-a/4)]^2-a^2/8+1>0
——》1-a^2/8>0
——》-2v2<a<2v2。