Question

如图矩形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作EF‖AD,交AB,CD于点E,F，过点P作GH平行BA交AD，BC于点G、H

当P不是AC中点时，四边形EHFG是梯形
当点P是AC中点时，四边形EHFG是什么四边形

Answer 1

⑴设AP与EG相交于M，PC与HF相交于N，
∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPG与四边形PHCF是平行四边形，
∵∠EAG=∠HCF=90°，
∴平行四边形AEPG与平行四边形PHCF是矩形，
∴AG=PA，MP=MG，HF=PC，NP=NH，
∴∠MPG=∠MGP，∠NPH=∠NHP，
∵∠APG=∠NPH，
∴∠MGP=∠NHP，
∴EG∥HF，
∵PA≠PC，∴GE≠HF，
∴四边形EHGF是梯形。
⑵当P为AC中点时，EG=HF，又EG∥HF，
∴四边形EHGF是平行四边形，
又EF⊥GH，
∴平行四边形EHFG是菱形。