Question

一道简单的高中数学解答题

不多说。上图！

21题啊、、、、

Answer 1

1)f(x)存在单调减区间等价于 f'(x)<0有解
∵ f'(x)=1/x-ax-1=-(ax^2+x-1)/x 且x>0
故 f'(x)<0 等价于 ax^2+x-1>0 在x>0 有解
即 a>(1/x)^2-1/x 有解 因为 (1/x-1/2)^2-1/4>=-1/4 故a>-1/4
2)有俩不同零点，设x1<x2
由 f(x1)=f(x2) 两式相减 得到 lnx1-lnx2=[a(x1+x2)/2+b](x1-x2)
故 f'((x1+x2)/2)=2/(x1+x2)-[a(x1+x2)/2+b]=2/(x1+x2)-(lnx1-lnx2)/(x1-x2)
=[(x1+x2)(lnx1-lnx2)-2(x1-x2)]/(x2^2-x1^2]
欲证 f'((x1+x2)/2)<0, 即证明 g(x2)=(x1+x2)(lnx1-lnx2)-2(x1-x2)<0 其中x2>x1>0 把x1看着定值
于是 g(x1)=0 且 g'(x2)=lnx1-lnx2-(x1+x2)/x2+2=1+ln(x1/x2)-(x1/x2)<0 （这里运用了 1+lnx-x<0,求导易证的） 故 g(x2)<g(x1)=0 所以 f'((x1+x2)/2)<0得证

Answer 2

第一问，定义域有：x>0
f'x=1/x-ax-1
a>=0 显然存在x满足f'x<0的条件
a<0时，用均值不等式
f‘x>=2根号（1/x*(-ax)）-1=2根号（-a）-1
存在x满足f'x<0，2根号（-a）-1<0
-a<1/4
a>-1/4
综上，a>-1/4

第二问，fx1=lnx1-ax1^2/2-bx1=0
fx2=lnx2-ax2^2/2-bx2=0
于是lnx1-lnx2=(x1-x2)((ax1+ax2)/2+b)
f'((x1+x2)/2)=2/(x1+x2)-a(x1+x2)/2-b=2/(x1+x2)-(lnx1-lnx2)/(x1-x2)
这个几何意义很明显，就是lnx函数中点的导数小于两端点的斜率，你慢慢化简也可以证的

Answer 3

(1) f(x)=lnx-ax²-x
f'(x)=1/x-2ax-1
若f(x)存在单调递减区间
则f'(x)=(1-x-2ax²)/x<0
因定义域x>0 则2ax²+x-1>0
设f(x)=2ax²+x-1>0
[1] a<0 时，抛物线开口向下，对称轴x=-1/(4a)>0
x>-1/4a时单调递减，成立
[2] a=0时，f(x)=x-1单调递增，不成立
[3] a>0时，怕我想开口向上，对称轴x=-1/4a<0
x<-1/4a时单调递减，但x>0，所以不成立
综上：a<0

追问

大神，，，，你题目看错了。。。题目是f(x)=lnx-（1/2）ax²-x不是f(x)=lnx-ax²-x。。。。

追答

(1) f(x)=lnx-1/2ax²-x
f'(x)=1/x-ax-1
若f(x)存在单调递减区间
则f'(x)=(1-x-ax²)/x0 则ax²+x-1>0
设f(x)=ax²+x-1>0
[1] a0
x>-1/2a时单调递减，成立
[2] a=0时，f(x)=x-1单调递增，不成立
[3] a>0时，抛物线开口向上，对称轴x=-1/2a0，所以不成立
综上：a<0

追问

a=0的时候f（x）=lnx-x而不是f(x)=x-1。所以说不存在a=0时单调递增的问题。
而且题干中“存在单调递减区间”说明导函数在定义域内≤0有解，而不是恒成立问题、
而且我算出来和楼上的一样。是＞-1/4

追答

sorry 那个a=0时的f（x）=x-1是我下面设的一个，不是上面那个