Question

高中数学题参数方程

第二问

Answer 1

曲线C的普通方程是：
x²/a²＋y²/3=1
又直线L与x轴的交点是：(2，0)，则：
a=2
从而曲线C的方程是：
x²/4＋y²/3=1
将这个椭圆化为极坐标方程，得：
ρ=(ep)/(1－ecosθ)，其中e=c/a=1/2、p=3
ρ=3/(2－cosθ)
则：
|OA|=ρ1=3/(2－cosθ)
|OB|=ρ2=3/[2－cos(θ＋2π/3)]=3/[2＋cos(θ－π/3)]
|OC|=ρ3=3/[2－cos(θ＋4π/3)]=3/[2＋cos(π/3＋θ)]
得：
1/|OA|²＋1/|OB|²＋1/|OC|²
=[1/ρ1²]＋1/[ρ2²]＋1/[ρ3²]
=(1/9)×{[2－cosθ]²＋[2＋cos(θ－π/3)]²＋[2＋cos(θ＋π/3)]²
=(1/9)×{[4－4cosθ＋cos²θ]＋[4＋4cos(θ－π/3)＋cos²(θ－π/3)]＋[4＋4cos(θ＋π/3)＋cos²(θ＋π/3)]}
=(1/9)×{12＋(3/2)}
=3/2

追问

请问p1 p2 p3怎么算的？
另外题目给的答案是7/8

追答

椭圆x²/4＋y²/3=1中，a²=4、b²=3，则：
c=1
得：
e=c/a=1/2
p=(a²/c)－c=3
椭圆极坐标方程是：ρ=(ep)/(1－ecosθ)，代入化简，得：
ρ=3/(2－cosθ)
则：
1/|OA|²＋1/|OB|²＋1/|OC|²
=[1/ρ1²]＋1/[ρ2²]＋1/[ρ3²]
=(1/9)×{[2－cosθ]²＋[2＋cos(θ－π/3)]²＋[2＋cos(θ＋π/3)]²
=(1/9)×{[4－4cosθ＋cos²θ]＋[4＋4cos(θ－π/3)＋cos²(θ－π/3)]＋[4＋4cos(θ＋π/3)＋cos²(θ＋π/3)]}
计算下分母：
1、大括号里的数字的和是12；
2、4cos(θ－π/3)=4×[(1/2)cosθ＋(√3/2)sinθ]
4cos(θ＋π/3)=4×[(1/2)cosθ－(√3/2)sinθ]
－4cosθ
从而，分母上－4cosθ、4cos(θ－π/3)、4cos(θ＋π/3)的和为0
3、cos²(θ＋π/3)=(1/2)×[cos(2θ＋2π/3)＋1]=(1/2)×[1－(1/2)cos2θ－(√3/2)sin2θ]
cos²(θ－π/3)=(1/2)×[cos(2θ－2π/3)＋1]=(1/2)×[1－(1/2)cos2θ＋(√3/2)sin2θ]
cos²θ=(1/2)×[cos2θ＋1]
则：分母上含有cos²的和是：3/2
4、原式=(1/9)×(27/2)=3/2