Question

若 limUn=a,证明 lim|Un|=|a|,并举例说明反过来未必成立. 求过程！！！

Answer 1

∵limUn=a

∴对任意ε>0，存在N>0，当n>N时，有│Un-a│<ε

∵│|Un|-|a|│≤│Un-a│<ε

∴lim|Un|=|a|

与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N。

扩展资料：

“当n>N时，均有不等式成立”意味着：所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。

如果存在某ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

Answer 2

见下图：

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