Question

求教刘老师

现有一题
已知四元非齐次线性方程组Ax=b的秩r（A）=3，且其三个解向量为B1 B2 B3 我想知道的是解向量个数不应该等于n-r吗？也就是4-3 不应该是一个吗？是题出错了吗？

Answer 1

正确的说法是：能够用它的线性组合表示齐次线性方程组Ax=0的任意一组解，且是线性无关的称为基础解系。即基础解系首先是线性无关的，其次是它的线性组合可以表出齐次线性方程组Ax=0的所有解。若是n维向量组，秩为r，基础解系的个数就是n-r个。Ax=0解向量的个数是无穷的。因为若基础解系为A1、A2、.....An,则k1A1+k2A2+.....+knAn都是Ax=0的解。而常数k1、k2...kn是无穷的

追问

A1A2都是解向量？

追答

更正一下：假设秩r（A）=r，则一组基础解系可表示为A1、A2、.....An-r.
则k1A1+k2A2+.....+kn-rAn-r都是Ax=0的解,其中常数k1、k2...kn-r任意。

基础解系一定是解向量，解向量不一定是基础解系。
如面的题，四元非齐次线性方程组Ax=b的秩r（A）=3，n=4,则AX=0基础解系个数为4-3=1

单个向量A线性无关，则这个向量A不等于零向量。四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量为B1 B2 B3 ，因为非齐次线性方程组Ax=b两个解的差是其次齐次线性方程Ax=0的解。因此B1-B2为Ax=0的解。只要B1-B2不为零向量就是Ax=0的基础解系。
不懂的可再提问。或是举出例子，可以帮忙解答