Question

定积分课后的一道题 见图

我想问问大侠们 这道题的解题思路是什么，，，怎么会想到用这个办法
尽管看了答案我懂了 但是要是我直接来做 打死我都想不出用这样的办法啊
解题思路是什么呀！！！！！！！

第一幅图是问题
第二幅图是第二个小问题的答案





Answer 1

题目只给了lim(x→+∞) f(x) = 1
但是有说明lim(x→+∞) ∫(0→x) e^t * f(t) dt是趋向无限大吗？不知道。
因为f(x)是未知数

所以就要证明：
对于任意的M > 0，存在X > 0，使得当x > X时，有f(x) > M
即∫(0→x) e^t f(t) dt = ∫(0→X) e^t f(t) dt + ∫(X→x) e^t f(t) dt
≥ ∫(0→X) e^t f(t) dt + ∫(X→x) M*e^X dt
= ∫(0→X) e^t f(t) dt + M*e^X*(x - X)
其中∫(0→X) e^t f(t) dt，M*Xe^(X)是常数
当x→+∞时e^(x) → +∞，∫(0→X) e^t f(t) dt + M*e^X*(x - X) → +∞
==> ∫(0→x) e^t f(t) dt → +∞
或由积分中值定理，存在一个ζ ∈[0，x]
使得∫(0→x) e^t f(t) dt = (x - 0)e^ζ f(ζ) = e^ζ f(ζ) x
当x→+∞时，e^ζ f(ζ) x → +∞

证明了上面这个积分也趋向无穷大时
才确定lim(x→+∞) [∫(0→x) e^t f(t) dt]/e^x 是∞/∞的形式
这样才能用洛必达法则

Answer 2

　　为什么要这么做呢？直接这样不就行了,变上限求导

追问

我想是为了证明是0/0型吧 因为这是用洛毕塔法则前提 你说是吧 我是想知道证明这个趋向于无穷的思路是怎么想到的