Question

如图1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，OA=OB=3,过点A,B的抛物线对称轴为直线

X=1，抛物线与X轴的另一交点为点D。 1 抛物线解析式我已经知道 2 如图2，如果将三角板的执教定点C在X轴上华东，一直角所在的直线过点B，另一条直角边与抛物线交点为E，其横坐标为4，求C点坐标。
3 点P为抛物线对称轴上一动点，M为抛物线在X轴上方图像上一点，N为平面内一动点，是否存在P M N，使得以A P M N为顶点的四边形为正方形 求M坐标。

Answer 1

(1)
y=- 3/4(x-1)2+3
(2)

E(4, -15/4)
CH=4+OC
△BOC∽△CHE
OC/OB=EH/HC

OC/3=15/4 /(4+OC)
OC^2+4OC- 45/4 =0
OC=(-4±√61)/2(负数舍去)
OC=(√61－4)/2

C（(4- √61)/2 , 0）

(3)
四种情形都不符合条件，所以不存在

Answer 2

(1) 

对称轴为x = 1, A(3, 0), D(d, 0)与其距离相等

3 - 1 = 1 - d, 

d = -1

y = a(x + 1)(x - 3)

x = 0, y = 3 = -3a

a = -1

y = -x² + 2x +3 = -(x + 1)(x - 3)

(2)

C（2-√9，0）

(3)

只需AP与AM垂直,且AP = AM
令P(1, p)

AP的斜率k = (p - 0)/(1 - 3) = -p/2

AM的斜率k' = 2/p

AM的方程: y = (2/p)(x - 3)

与抛物线联立: (2/p)(x - 3) = -(x + 1)(x - 3)

显然x - 3不为0 (否则A, M重合), x = -1 - 2/p, y = -(x + 1)(x - 3) = -8/p - 4/p²

AM² = (-1 - 2/p - 3)² + (-8/p - 4/p² - 0)²

AP² = (3 - 1)² + (p - 0)²

AM² = AP²

前两个根在(-1, 3)之外, 舍去

M(1-√2 , 2), 或M(1+√2 , 2)

Answer 3

图可以画的更漂亮滴。。。