Question

已知:二次函数y=ax∧2+bx+6(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的右侧），点A、点B的

已知:抛物线y=ax∧2+bx+6与x轴交于A,B两点（点A在原点左侧点B在原点右侧），与y轴交于点C且OB=二分之一OC，tan角ACO=六分之一，顶点D，直线CD与x轴交于点E1.直接写出点A.C.D.E坐标2.在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A.C.E.F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求F坐标，若不存在请说明理由3.若点M〔2，y〕是此抛物线上一点，点N是直线AM上方抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积最大？求最大值和点N

Answer 1

（1）
x^2-4x-12=0
===> (x+2)*(x-6)=0
===> x1=-2，x2=6
已知点A在B的左侧
所以，A(-2,0)，B(6,0).

（2）
已知点A、B在二次函数上，代入y=ax^2+bx+6得到：
4a-2b+6=0 ===> 2a-b=-3
36a+6b+6=0 ===> 6a+b=-1
联立解得：a=-1/2，b=2
所以，y=(-1/2)x^2+2x+6
=(-1/2)*(x^2-4x+4)+8
=(-1/2)*(x-2)^2+8
所以，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,8).

（3）猜想点C为二次函数与y轴的交点！！！

由前面知，二次函数为y=(-1/2)x^2+2x+6
则，当x=0时，y=6
所以，点C(0,6)
△APC的周长=PA+PC+AC，其中AC长度固定
所以，当PA+PC最小时，△APC周长就最小
因为点A、B关于对称轴x=2对称，则：PA=PB
所以，PA+PC=PB+PC
所以，当点B、P、C在同一直线上时，PB+PC=BC为最小
已知点B(6,0)，C(0,6)，所以过BC的直线为：y=-x+6
那么，直线BC与对称轴x=2的交点为y=-2+6=4
即，对称轴上存在点P(2,4)，使得△APC的周长最小.

（4）
点Q在线段OB上，且不与O、B重合，所以：0＜m＜6
那么，QB=6-m
则，S△CQB=(1/2)*QB*Cy【Cy的C点纵坐标】…………………………（1）
已知Kac=(6-0)/[0-(-2)]=3
因为DQ//AC，所以直线DQ的斜率也是k=3
已知点Q(m,0)，所以直线DQ为：y=3(x-m)=3x-3m
由(2)知，直线BC为y=-x+6
联立解得：x=(3m+6)/4，y=(-3m+18)/4
则点D((3m+6)/4,(-3m+18)/4)
则，S△DQB=(1/2)*QB*Dy=(1/2)*(6-m)*Dy……………………………（2）
由(1)(2)得到：S△CDQ=S△CBQ-S△DBQ
=(1/2)*QB*(Cy-Dy)
=(1/2)*(6-m)*[6-(-3m+18)/4]
=(1/2)*(6-m)*(3m+6)/4
=(1/8)*(-3m^2+12m+36)
=(-3/8)*(m^2-4m-12)
=(-3/8)*[(m^2-4m+4)-16]
=(-3/8)*[(m-2)^2-16]
=(-3/8)*(m-2)^2+6
则，当m=2时，S△CDQ有最大值=6.

Answer 2

：（1）当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO= 16，OC=6，
∴OA=1，
∴A（-1，0）；

（2）∵OB= 12OC，
∴OB=3，
∴B（3，0），
由题意，得 a-b+6=09a+3b+6=0，
解得 a=-2b=4，
∴y=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8，
∴D（1，8），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则 b=6k+b=8，
解得 k=2b=6，
∴直线CD的解析式为y=2x+6，
∴点E的坐标为E（-3，0）；
假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，
当AE为平行四边形的边时，F1（2，6），F2（-2，6），
当AE为平行四边形的对角线时，F3（-4，-6），
经验证，只有点（2，6）在抛物线y=-2x2+4x+6上，
∴F（2，6）；如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，
设N（m，-2m2+4m+6），
当x=2时，y=6，
∴M（2，6），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则 -k+b=02k+b=6，
解得 k=2b=2，
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m2+4m+6-（2m+2）=-2m2+2m+4，
∵S△ABM= 12×4×6=12，
∴S=S△ABM+S△AMN=12+S△ANQ+S△MNQ，