Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点（-3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程

过程

Answer 1

设抛物线方程为 x^2=4ny，准线方程 y=-n，
由抛物线的定义，P（-3，m）焦点的距离等于其到准线的距离，
所以 5-|m|=|-n|，且9=4mn。
解得 m=1/2，n=9/2 或 m=-1/2，n=-9/2 或 m=9/2，n=1/2 或 m=-9/2，n=-1/2，
因此，抛物线方程为 x^2=±18y 或 x^2=±2y。（四个）

Answer 2

一、抛物线焦点在x轴上，开口向左，则，抛物线方程为：
y²＝2px，其中，p＞0
则焦点坐标为：(p/2,0)
将x=m,y=-3代入抛物线方程，得，9=2mp，……（1）
点（m，—3）到焦点的距离为：
√[(m-p/2)²+(-3-0)²]＝5……（2）
由（1）、（2），得，p=±1或p＝±9
舍去负值，得，p=1，或p=9
得，抛物线方程为：y²＝2x或，y²＝18x
二、抛物线开口向右，焦点在x轴上，
则抛物线方程为：y²＝-2px，其中，p＞0
焦点坐标为：（-p/2,0)
将x=m,y=-3代入抛物线方程，得，9=-2mp，……（1）
点（m，—3）到焦点的距离为：
√[(m+p/2)²+(-3-0)²]＝5……（2）
由（1）、（2），得，p＝±1或，p=±9
舍去负值，得，p=1或，p=9
所以，抛物线方程为：y²＝-2x或，y²＝-18x
三、抛物线的焦点在y轴上，开口向下
则抛物线的方程为：x²＝-2py,
焦点坐标为：（0，-p/2）
将x=m,y=-3代入，得，m²＝6p……（1）
√[m²+(-3+p/2)²]＝5……（2）
由（1）、（2），得，p=4或p=-16，其中，p=-16不符合题意，舍去
所以，如果焦点在y轴上，抛物线方程为：x²＝-8y