Question

数列an满足a1=1/2，a（n+1）=1/（2-an）。 求证1/（an-1）为等差数列，并求出an的通项公式。

求证的分母是an减1

Answer 1

解：
an=1/(2-a<n-1>)
a<n+1>-1=-1+1/(2-an)=(-1+an)/(2-an)
1/(a<n+1>-1)=(2-an)/(-1+an)
a<n>-1=-1+1/(2-a<n-1>)=(-1+a<n-1>)/(2-a<n-1>)
1/(a<n>-1)=(2-a<n-1>)/(-1+a<n-1>)
1/(a<n+1>-1)-1/(a<n>-1)=(2-an)/(-1+an)-(2-a<n-1>)/(-1+a<n-1>)
=1/(-1+an)-1-1/(1+a<n-1>)+1
=(1-a<n-1>)/(-1+a<n-1>)=-1
所以数列{1/(-1+an)}是公差为-1，首项为1/(-1+a1)=-2的等差数列；
1/(-1+an)=-n-1
-1+an=-1/(n+1)
an=n/(n+1)

Answer 2