Question

几何证明题

在△ABC中，AD⊥BC交边BC于点D.
⑴若∠A=90°，试说明AD+BC＞AB+AC
⑵若∠A＞90°，⑴中的结论仍然成立吗？若不成立，请举反例；若成立，请给出说明。

Answer 1

（1）若∠A=90°，则AD*BC=AB*AC
于是
(AD+BC)^2=AD^2+2AD*BC+BC^2
=AD^2+2AB*AC+AB^2+BC^2
=AD^2+(AB+BC)^2
>(AB+BC)^2
所以
AD+BC>AB+BC
(2)成立，
我们以x记角BAC，则90°<x<180°
首先在三角形ABC中,由面积相等知道
1/2AD*BC=1/2AB*AC*sinx
AD*BC=AB*ACsinx
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cosx
于是
(AD+BC)^2=AD^2+2AD*BC+BC^2
=AD^2+2AB*ACsinx+AB^2+AC^2-2AB*AC*cosx
=AD^2+AB^2+AC^2+2AB*AC(sinx-cosx)
=AD^2+AB^2+AC^2+2AB*AC*根号2*sin(x-45°)
因为
45°<x-45°<135°
1<根号2*sin(x-45°)=<根号2
所以
(AD+BC)^2>AD^2+AB^2+AC^2+2AB*AC
=AD^2+(AB+AC)^2
>(AB+AC)^2
AD+BC>AB+AC

Answer 2

AD+BC=AD+DB+DC
AD=X
DB=Y
DC=Z
∠A=90°
XX=YZ
AB^2=XX+YY
AC^2=XX+ZZ
要证
(YZ)^0.5+Y+Z>(XX+YY)^0.5+(XX+ZZ)^0.5=(YZ+YY)^0.5+(YZ+ZZ)^0.5=(Y^0.5+Z^0.5)(Y+Z)^0.5
设Y^0.5=a
z^0.5=b

即要证
(ab+aa+bb)(ab+aa+bb)>(a+b)(a+b)(aa+bb)=(aa+bb+ab+ab)(aa+bb+ab-ab)=(ab+aa+bb)(ab+aa+bb)-aabb
即要证aabb>0
∠A=90°成立

若∠A＞90°
仍然成立
XX<YZ
要证x+y+z>(XX+YY)^0.5+(XX+ZZ)^0.5
要证
xx+yy+zz+2xy+2yz+2zx>xx+yy+xx+zz+2[(xx+yy)(xx+zz)]^0.5
要证(2xy+2yz+2zx-xx)^2>(2xx+2yy)(2xx+2zz)
要证4xxyy+4yyzz+4zzxx+xxxx+8xyz(x+y+z)-4xx(xy+yz+zx)>4xxxx+4yyzz+4xx(yy+zz)
要证8xyz(x+y+z)-4xx(xy+yz+zx)>3xxxx
要证4yzx+8yyz+8yzz>3xxx+4xxy+4xxz
因为xx<yz
所以3xxx+4xxy+4xxz<3xyz+4yyz+4yzz<4yzx+8yyz+8yzz
所以还成立