Question

求高数题详细解答

Answer 1

证明：

构造函数：
f(x)=tanx - x
其定义域为：(nπ-π/2,nπ+π/2)，n∈Z
考察区间：[nπ,nπ+π/2)

对于确定的n的上述区间内，显然，f(x)连续且可导，
又∵
f(nπ) =tan(nπ)-nπ=-nπ<0
lim(x→nπ+π/2) f(x) =+∞>0
由极限的保号性可得：
f(nπ)·f(bn)<0
其中：bn→(nπ+π/2)-
因此，根据零点定理，∃ξn∈(nπ,bn)，则：
f(ξn)=tanξn - ξn=0
∴方程tanx=x有实数根ξn，ξn∈(nπ,nπ+π/2)
解：
原极限
=π