Question

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,p丶Q是反比例函数y=a方+ 1\x（x>0）图象上的两点，过点p丶Q分别作

直线X、y轴分别交于点A、B和点M、N。已知点p为线段AB的中点。
1、求三角形AOB的面积（结果用含a的代数式表示）
2、当点Q为线段MN的中点时，小明同学连结AN，MB后发现此时直线AN与直线MN平行，问小明同学发现的结论正确吗?为什么?
y=（a方+ 1）\x

Answer 1

（1）因为P在双曲线上，所以设P坐标为（x，(a²+1)/x)
P为AB中点，且B横坐标为0，所以A横坐标为2x
A纵坐标为0，所以B纵坐标为2(a²+1)/x
AO=2x，BO=2(a²+1)/x
S△AOB=1/2×AO×BO=2(a²+1)
(2)是AN∥MB吧？
因为Q也在双曲线上，所以设Q坐标为(m，(a²+1)/m)
Q为MN中点，且N横坐标为0，所以M横坐标为2m
M纵坐标为0，所以N纵坐标为2(a²+1)/m
MO=2m，NO=2(a²+1)/m
AO：MO=(2x)：(2m)=x/m
NO：BO=[(a²+1)/m]：[(a²+1)/x]=x/m
AO：MO=NO：BO，且∠AON=∠MOB=90
所以△AON∽△MOB，∠OAN=∠OMB
因此AN∥MB

Answer 2

没有图形不好解答。

追问

追答

（1）设P坐标为（m，(a²+1)/m)
∵P为AB中点，∴A﹙2m，0﹚，B（0，2﹙a²＋1﹚/m）
∴AO=2m,，BO=2(a²+1)/m，
∴S△AOB=1/2×AO×BO=2(a²+1)。
(2)小明同学发现的结论AN∥MB正确。理由是：
设Q坐标为(n，(a²+1)/n)，Q为MN的中点，
依题意得，MO=2n，NO=2(a²+1)/n，
在OAN和OMB中，OA/OM＝ON/OB＝m/n，
∠AON＝∠MOB＝90º
∴△AON∽△MOB，
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB