Question

在等腰直角三角形ABC中，AC=BC,点D 在BC上，过点D作DE 垂直于AD，过点B作BE垂直于AB交DE于点E，DE交AB于F

(1)求证：AD=DE; (2)若BD=2CD,求证:AF=5BF

Answer 1

，因为三角形ACB为等腰直角三角形，所以∠ABC=45度，又因为∠DAF=∠BEF=90度，所以A，D，B，E四点共圆，所以∠AED=∠ABC=45度，三角形ADE为等腰直角三角形，所以AD=DE
（2）设CD=1，DB=2，则AC=3，AB=3根号2，AD=根号10
因为直角三角形ACD与直角三角形ABE相似，所以BE/AB=CD/AC，BE=根号2
又因为直角三角形ADF与直角三角形EBF相似，所以AF/FE=AD/BE
设EB=X，则EF=根号（2+X²）， AF=（3根号2）-X
（（3根号2）-X）²/（2+X²）=10/2=5
整理得：2X²+（3根号2）X-4=0，解得X=（根号2）/2，AF=5/2（根号2）
所以AF/FB=5/1。AF=5FB

Answer 2

(1)∵∠DAF=∠BEF
∴D、B、E、A四点共圆，
∴∠ADC=∠AEB
∴∠AEF=45º
∴AD=DE
(2)设AC=BC=3 连AE
∴AD=√10 AE=2√5
⊿DFB∽⊿AEF
AF／BF=AE／BD=2√5／2=√5
AF=√5BF